정적분 문제

내 이 세상 도처에서 쉴 곳을 찾아보았으나, 마침내 찾아낸, 컴퓨터가 있는 구석방보다 나은 곳은 없더라.

on 수학

정적분 문제

학교를 졸업한지 오래되어 지금은 미적분이 거의 생각나지 않지만, 아직도 기억하고 있는 적분 문제가 하나 있다. 다음 정적분 값을 구하는 문제인데, 적분 자체는 어렵지 않지만 발상의 전환이 필요하다. 선배에게 이 문제 풀이 설명을 듣었을 때의 감동이 아직도 생생하다.

%math \begin{aligned} I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \end{aligned}

그냥 I 값을 구하려 하면 문제가 풀리지 않는다. 그러나 I^2 값은 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.

%math \begin{aligned} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)^2 \newline &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy \newline &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy \newline \end{aligned}

정적분 값은 적분변수와 상관 없으므로 x 를 y 로 바꿔도 상관 없다. 적분변수를 굳이 x, y 로 바꾼 것은 문제를 xy 평면에서의 적분으로 생각하기 위해서다. 이렇게 하면 문제를 기하학적으로 생각할 수 있게 된다.

z=e^-(x^2+y^2) 3차원 그림

일단 평면에 대한 적분 문제라 생각하고 나면, xy 좌표계에서 극좌표계로 바꿔 평면 전체에 대해 적분해도 결과는 같을 것이다.

%math \begin{aligned} x &= r\cos \theta \newline y &= r\sin \theta \newline dx\,dy &= r\,dr\,d\theta \end{aligned}

xy 평면 전체는 -\infty \lt x \lt \infty , -\infty \lt y \lt \infty 다. 극좌표로 나타내면 r, \theta 의 범위는 0 \le r \lt \infty , 0 \le \theta \lt 2\pi 라 할 수 있다. 따라서 정적분을 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다. 이제 적분을 쉽게 할 수 있다. (아래 식이 이해되지 않을 경우, r^2=t 로 치환해 적분하면 쉽다)

%math \begin{aligned} I^2 &= \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr\,d\theta \newline &= 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr \newline &= 2\pi \left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_{r=0}^{r=\infty} \newline &= {\pi} \end{aligned}

따라서...

%math \begin{aligned} I = \sqrt \pi \end{aligned}

수학도 그렇고 물리학도 그렇고 좌표를 변환하면 어렵던 문제가 쉽게 풀리는 경우가 많다. 이 적분 문제는 좌표 변환을 통해 어려운 문제를 쉬운 문제로 바꾼 대표적인 예라 할 수 있겠다.

좌표계는 생각하는 방식 또는 생각의 기준이라 할 수 있다. 프로그램을 작성할 때도 복잡해보이는 문제가 생각의 방식을 바꾸면 쉽게 풀리는 경우가 많다. 어떤 문제가 지나치게 복잡하다면 부적절한 좌표계에서 문제를 풀려 하고 있는 것이 아닌지 의심해볼 필요가 있다.