오일러 공식(Euler's formula)는 복소수에서 삼각함수와 복소 지수 함수의 관계를 나타내는 수학식으로 다음과 같이 나타낸다.
예전에 이 공식을 배웠을 때는 이해나 증명을 하지 않고 그냥 외웠던 것 같다. 이번에 공식을 증명해보고 제대로 이해해보려 한다.
증명 1: 테일러 급수 활용
복소수 에 대해 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
를 거듭제곱하면 다음과 같다.
에서 에 (는 실수)를 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
괄호 안의 수식을 살펴보면 각각 와 의 맥클로린 급수(Maclaurin Series)임을 알 수 있다.
따라서, 각 괄호를 , 로 바꾸면 다음 식을 얻는다.
방법 2: 극좌표 사용
모든 복소수는 다음과 같이 복소수 극좌표 형식으로 나타낼 수 있으므로, 도 다음과 같이 나타낼 수 있다.
아직 과 는 모른다. 증명을 통해 과 를 찾을 것이다. 가 변함에 따라 , 도 변할 것이므로 , 를 의 함수로 생각할 수 있다. 인 인 경우 는 1이 되므로, , 이 되어야 한다. (초기 조건)
위 식의 양변을 미분하면 다음과 같은 식을 얻는다.
위 식에서 에 를 대입해 정리해보자.
위 등식이 성립하려면 , 이 되어야 한다.
초기 조건 , 을 고려하면 , 이 되어야 함을 알 수 있다. 따라서 가 된다. 처음 식 에 , 를 대입하면 다음 식을 얻는다.
오일러 등식
오일러 공식에서 를 대입하면 다음 등식을 얻는다.
을 좌변으로 옮겨 다음과 같이 쓰면 오일러 등식(Euler's Identity)이 된다.
오일러 등식은 수학에서 가장 아름다운 식 중 하나로 여겨진다. 이 식 하나에 수학에서 가장 중요한 상수 다섯이 포함되어 있다.
- 0 (덧셈에 대한 항등원)
- 1 (곱셈에 대한 항등원)
- (원주율)
- (자연로그의 밑)
- (허수 단위)
그러고 보니 정말 아름다운 식인 것 같다.