오일러 공식

내 이 세상 도처에서 쉴 곳을 찾아보았으나, 마침내 찾아낸, 컴퓨터가 있는 구석방보다 나은 곳은 없더라.

on 수학

오일러 공식

오일러 공식(Euler's formula)는 복소수에서 삼각함수와 복소 지수 함수의 관계를 나타내는 수학식으로 다음과 같이 나타낸다.

%math \begin{aligned} e^{ix} = \cos x + i \sin x \end{aligned}

예전에 이 공식을 배웠을 때는 이해나 증명을 하지 않고 그냥 외웠던 것 같다. 이번에 공식을 증명해보고 제대로 이해해보려 한다.

증명 1: 테일러 급수 활용

복소수 z 에 대해 e^z 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

%math e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + ... = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}

i 를 거듭제곱하면 다음과 같다.

%math \begin{aligned} i^0 &= 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3=-i, \newline i^4 &= 1, i^5 = i, i^6 = -1, i^7 = -i, \newline &... \end{aligned}

e^z 에서 z 에 ix ( x 는 실수)를 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

%math \begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + ...\newline &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + ...\newline &= \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...\right) \end{aligned}

괄호 안의 수식을 살펴보면 각각 \cos x 와 \sin x 의 맥클로린 급수(Maclaurin Series)임을 알 수 있다.

%math \begin{aligned} \sin x &= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...\newline \cos x &= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... \end{aligned}

따라서, 각 괄호를 \cos x , \sin x 로 바꾸면 다음 식을 얻는다.

%math \begin{aligned} e^{ix} = \cos x + i \sin x \end{aligned}

방법 2: 극좌표 사용

모든 복소수는 다음과 같이 복소수 극좌표 형식으로 나타낼 수 있으므로, e^{ix} 도 다음과 같이 나타낼 수 있다.

%math e^{ix} = r(\cos \theta + i \sin \theta)

아직 r 과 \theta 는 모른다. 증명을 통해 r 과 \theta 를 찾을 것이다. x 가 변함에 따라 r , \theta 도 변할 것이므로 r , \theta 를 x 의 함수로 생각할 수 있다. x = 0 인 인 경우 e^{ix} 는 1이 되므로, r(0) = 1 , \theta(0) = 0 이 되어야 한다. (초기 조건)

위 식의 양변을 미분하면 다음과 같은 식을 얻는다.

%math ie^{ix} = (\cos \theta + i \sin \theta)\frac{dr}{dx} + r(-\sin \theta + i \cos \theta)\frac{d \theta}{dx}

위 식에서 e^{ix} 에 r(\cos \theta + i \sin \theta) 를 대입해 정리해보자.

%math \begin{aligned} ir(\cos \theta + i \sin \theta) &= (\cos \theta + i \sin \theta)\frac{dr}{dx} + r(-\sin \theta + i \cos \theta)\frac{d \theta}{dx}\newline -r\sin\theta + ir\cos\theta &= \left( \cos\theta\frac{dr}{dx} - r\sin\theta\frac{d\theta}{dx} \right) + i\left( \sin\theta\frac{dr}{dx} + r\cos\theta\frac{d\theta}{dx}\right) \end{aligned}

위 등식이 성립하려면 \frac{dr}{dx} = 0 , \frac{d\theta}{dx} = 1 이 되어야 한다.

%math \begin{aligned} &\frac{dr}{dx} = 0 \implies r = constant\newline \newline &\frac{d\theta}{dx} = 1 \implies \theta = x + C \end{aligned}

초기 조건 r(0) = 1 , \theta(0) = 0 을 고려하면 r=1 , C=0 이 되어야 함을 알 수 있다. 따라서 x=\theta 가 된다. 처음 식 e^{ix} = r(\cos \theta + i \sin \theta) 에 r=1 , \theta = x 를 대입하면 다음 식을 얻는다.

%math e^{ix} = \cos x + i \sin x

오일러 등식

오일러 공식에서 x=\pi 를 대입하면 다음 등식을 얻는다.

%math e^{i\pi} = -1

-1 을 좌변으로 옮겨 다음과 같이 쓰면 오일러 등식(Euler's Identity)이 된다.

%math e^{i\pi} + 1 = 0

오일러 등식은 수학에서 가장 아름다운 식 중 하나로 여겨진다. 이 식 하나에 수학에서 가장 중요한 상수 다섯이 포함되어 있다.

  • 0 (덧셈에 대한 항등원)
  • 1
  • \pi (원주율)
  • e (자연로그의 밑)
  • i (허수 단위)

그러고 보니 정말 아름다운 식인 것 같다.

참고