흥미로운 수학 문제: sqrt(i) 계산

내 이 세상 도처에서 쉴 곳을 찾아보았으나, 마침내 찾아낸, 컴퓨터가 있는 구석방보다 나은 곳은 없더라.

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흥미로운 수학 문제: sqrt(i) 계산

요즘 유튜브에 자꾸 수학 문제 풀이 동영상이 눈에 띈다. 그 중 흥미로운 문제를 발견해 정리해보려 한다. 문제는 \sqrt{\,i\,} 를 를 구하는 것이다.

%math \sqrt{\,i\,} = ?

방법 1

처음 봤을 땐 '이걸 어떻게 풀지?' 하는 생각밖에 들지 않았지만, 막상 풀이를 보니 어렵지는 않다. 모든 복소수는 a + bi ( a, b 는 실수) 형태로 나타낼 수 있다는 점에 풀이의 실마리가 있다.

%math \sqrt{\,i\,} = a + bi

여기서 a 와 b 를 구하면 \sqrt{\,i\,} 를 구하는 것이 된다. 지금부터는 그냥 방정식 풀이다. 위 식의 양변을 제곱해 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

%math (a^2 - b^2) + (2ab - 1)i = 0

위 식이 성립하려면 좌변의 실수부와 허수부가 모두 0 이 되어야 한다. 따라서 다음 두 식을 얻을 수 있다.

%math \begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \newline 2ab - 1 = 0 \end{cases}

두 번째 식으로부터 b = \frac{1}{2a} 임을 알 수 있다. 이것을 첫 번째 식에 대입해 다음과 같이 a 를 구한다.

%math \begin{aligned} & a^2 - \left(\frac{1}{2a}\right)^2 = 0 \newline & a^4 = \frac{1}{4} \newline & a^2 = \pm \frac{1}{2} \end{aligned}

a 는 실수이므로 a^2 은 음수가 될 수 없다. 따라서 -\frac{1}{2} 는 버린다.

%math a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

b 도 다음과 같이 구할 수 있다. ( a 와 부호가 같아야 함에 유의한다.)

%math \begin{aligned} b &= \frac{1}{2a} = \frac{1}{2 \times \left(\pm \frac{1}{\sqrt 2} \right)} \newline &= \pm \frac{1}{\sqrt 2} \end{aligned}

a 와 b 를 모두 구했으므로, \sqrt{\,i\,} 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

%math \sqrt{\,i\,} = \pm \left( \frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}i \right)

그러나 이해되지 않는 게 있다. \sqrt{\,i\,} 는 분명 하나의 복소수인데, 어떻게 두 가지로 해석될 수 있는가? 풀이에서 뭔가를 빠뜨린 것일까, 아니면 복소수의 오묘함에 대한 이해가 부족한 것일까?

유튜브 풀이 영상에서는 a 가 -\frac{1}{\sqrt2} 도 될 수 있음을 고려하지 않았다.

방법 2

혹시나 해서 코파일럿에 물어봤더니 다른 풀이 방법도 알려준다. 복소수 극좌표 형식을 사용하는 방법인데, 훨씬 단순하고 직관적이다. 먼저 임의의 복소수 z 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

complex plane

%math \begin{aligned} z &= r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i \sin\theta)\newline |z| &= r \end{aligned}

i 는 실수부는 0이고 허수부는 1이므로 복소평면에서 허수축에 위치한다. 크기는 1이고( |i| = 1 ) 편각은 \frac{\pi}{2} 이므로, i 를 r e^{i\theta} 형식으로 나타내면 다음과 같다.

%math \begin{aligned} i = e^{\frac{\pi}{2} i} \end{aligned}

\sqrt{x} 는 x^{\frac{1}{2}} 이므로 \sqrt{\,i\,} 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

%math \begin{aligned} \sqrt{\,i\,} &= i^{\frac{1}{2}} = \left( e^{\frac{\pi}{2} i} \right)^\frac{1}{2} = e^{\frac{\pi}{4} i} \newline &= \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \newline &= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \newline \newline \therefore \sqrt{\,i\,} &= \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \end{aligned}

복소수 극좌표 형식을 사용하면 복잡한 방정식을 풀지 않아도 되고, 답에 - \left( \frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}i \right) 와 같은 고스트가 생기지도 않는다.

보너스 문제

\sqrt{\,i\,} 를 풀고 나서 얼마 후에 보니 유튜브에 흥미로운 문제가 또 올라왔다. \sqrt{\,i\,} + \sqrt{-i\,} 를 풀 수 있냐는 것이었다.

%math \sqrt{\,i\,} + \sqrt{-i\,} = ?

방금 \sqrt{\,i\,} 를 풀었으니 별로 어려워 보이지 않는다. Can you solve this?에서는 굉장히 복잡하게 문제를 푸는데, 복소수 극좌표 형식을 사용하면 훨씬 간단하게 풀 수 있다.

\sqrt{\,i\,} 는 위에서 구했으니, \sqrt{-i\,} 를 구한 후 둘을 더하면 되겠다.

%math \begin{aligned} \sqrt{-i\,} &= (-i)^{\frac{1}{2}} = \left( e^{-\frac{\pi}{2} i} \right)^{\frac{1}{2}} = e^{-\frac{\pi}{4} i} \newline &= \cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \newline &= \cos\frac{\pi}{4} - i \sin\frac{\pi}{4} \newline &= \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i \newline \end{aligned}

따라서,

\sqrt{\,i\,} + \sqrt{-i\,} = { \sqrt{2}}

사실 \sqrt{-i\,} = e^{-\frac{\pi}{4} i} 임을 알았을 때, 그 다음 계산은 생략할 수 있다. \sqrt{\,i\,} 의 편각이 \frac{\pi}{4} 였는데 \sqrt{-i\,} 의 편각은 -\frac{\pi}{4} 이므로, \sqrt{-i\,} 는 \sqrt{\,i\,} 의 켤레복소수(complex conjugate)임을 알 수 있기 때문이다. 계산 결과를 봐도 허수부 부호만 바뀌어 있음을 확인할 수 있다. 켤레복소수를 더하면 허수부는 상쇄되므로 실수부만 두 배 해주면 된다. 따라서 \sqrt{\,i\,} 의 실수부인 \frac{1}{\sqrt2} 를 두 배 해주면 답을 구할 수 있다.

참고