아주 오래전 처음 삼각함수를 배우기 시작했을 때, 선생님은 삼각함수를 이용하면 각도를 이용해 산이나 건물의 높이를 측정할 수 있다고 했다. 건물 높이든 산 높이든 높이를 직접 측정하기 어려울 때, 적당한 거리에서 꼭대기까지의 각도를 구해 높이를 알 수 있다는 말은 매우 신기하고 매력적으로 들렸다.
관측지점에서 산까지 거리 를 알고 지면과 산봉우리 사이의 각도 를 측정하면 산의 높이 를 구할 수 있다.
그런데 산까지 거리 를 어떻게 측정한단 말인가? 를 정확히 측정하려면 산 밑으로 굴을 파고들어 가야 하는데, 그건 말도 안 되는 소리였다. 수학 시간에 삼각측량 방법을 알려주지는 않았다. 그때는 어렸고 수학에 대한 이해도 미천했으며 삼각함수도 갓 배우기 시작한 때라, 더 이상 방법을 찾지 못하고 거기서 멈추었다.
오랫동안 이 문제를 잊고 있다가 최근 이 문제를 다시 생각하게 되었다. 불현듯 별까지 거리를 측정하는 방법이 궁금해 찾아보다가, 지구에서 태양까지 거리, 지구에서 달까지 거리, 다른 행성까지의 거리를 어떻게 측정할 수 있는지, 또, 지구의 크기는 어떻게 측정할 수 있는지 궁금증이 꼬리를 물고 이어졌다.
지구의 크기는 이미 2000년 전 에라토스테네스가 이미 계산해 냈다. 두 지점 간 태양의 고도차를 이용해 지구의 크기를 계산해 실제 지구 둘레에 가까운 값을 얻었다고 한다. 에라토스테네스의 계산 결과는 여러 오차가 서로 상쇄해 우연의 일치가 크게 작용했다고 하지만, 원리는 여전히 유효하다.
이 계산에서 가장 어려운 부분은 두 지점(알렉산드리아-시에네) 간 거리를 어떻게 아느냐는 것이다. 거리를 측정하는 가장 기본적인 방법은 삼각측량법(triangulation)을 활용하는 것이다. 삼각형의 한 변의 길이와 이에 접한 두 각의 크기를 알면 다른 꼭짓점의 위치를 알 수 있고 이에 따라 그 꼭짓점까지의 거리를 알 수 있다.
그렇다. 한 변의 길이와 이에 접한 두 각의 크기, 즉 삼각측량에는 두 각이 필요하다.
거리 측정
삼각측량에 대해 검색해 보니 위키피디아에 설명이 잘 되어 있다. 그림과 같이 해안의 두 지점을 A, B, 배의 위치를 C라고 하자. 선분 AB를 기준으로 A에서 측정한 각을 , B에서 측정한 각을 라 하면 다음 관계가 성립한다. 선분 AB의 길이 은 알고 있으며, , 의 정확한 값은 몰라도 된다.
임을 이용해 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
임을 이용해 위 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.
즉, AB 사이의 거리를 알고 A에서 측정한 각 , B에서 측정한 각 를 알면 해안에서 배까지의 거리 를 구할 수 있다. 이렇게 를 구하고 나면 , 뿐 아니라 AC, BC의 거리도 구할 수 있게 된다.
산 높이 측정
삼각측량을 위해 산의 높이를 측정하려면 두 곳에서 각도를 측정해야 한다. 먼저 A에서 고각(올려다본 각, angle of elevation) 를 측정한다. 그리고 산 봉우리와 A를 잇는 직선상 다른 지점 B로 이동해 고각 를 구한다. 그리고 A와 B 사이의 거리 를 측정한다. A, B 사이 거리는 가까운 경우 줄자로 잴 수도 있고 먼 경우에는 삼각법을 사용해 측량할 수 있다.
이제 , , 를 이용해 산의 높이 를 구해보자. 산까지 거리 는 알 수 없지만 식을 유도하는 과정에 필요하다. 먼저 A를 포함하는 직삼각형에서 다음을 얻을 수 있다.
B를 꼭짓점으로 포함하는 직삼각형에서는 다음 식을 얻을 수 있다.
위 두 수식을 합쳐 를 구하면 다음과 같다.
이므로, 이를 이용해 위 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.
즉, 관측점 사이의 거리 와 각 관측점에서의 고각 , 를 알면 산의 높이 를 구할 수 있는 것이다.
사인 법칙을 이용한 방법
사인 법칙에 따르면 삼각형 ABC에서 다음 관계가 성립한다.
선분 AB의 길이 를 알고 각도 , 를 알면, 위 식을 이용해 , 를 쉽게 구할 수 있다.
이렇게 , 를 구하고 나면 삼각형 ABC 밖의 다른 지점 D를 잡아 각도를 측정하고 CD, BD의 길이를 구할 수 있다. 이런 식으로 계속 확장해 나갈 수 있다.